空间算子是预报方程中最关键的部分，需要对它们非常熟悉，了解它们的性质。

基础算子

  • 水平梯度算子 ∇f\nabla f
  • 水平散度算子 ∇⋅F\nabla \cdot \mathbf{F}
  • 水平旋度算子 ∇×F\nabla \times \mathbf{F}
  • 水平通量算子 ∇⋅(fv)\nabla \cdot \left(f \mathbf{v}\right)
  • 水平平流算子 v⋅∇f\mathbf{v} \cdot \nabla f

算子之间的关系（通过内积定义）

(∇⋅F,g)=−(F,∇g)(∇×F,g)=−(F,∇⊥g) \left(\nabla \cdot \mathbf{F}, g\right) = - \left(\mathbf{F}, \nabla g\right) \\ \left(\nabla \times \mathbf{F}, g\right) = - \left(\mathbf{F}, \nabla^{\perp} g\right)

球面坐标系形式

球坐标系下的矢量在计算导数时存在一定问题，因为球坐标基矢量随坐标变化，所以矢量的空间变化包含了基矢量的变化。下面列出的是各个算子的微分形式：

  • 水平梯度算子

∇f=1acos⁡φ∂f∂λiλ+1a∂f∂φiφ \nabla f = \frac{1}{a \cos{\varphi}} \frac{\partial f}{\partial \lambda} \mathbf{i}_\lambda + \frac{1}{a} \frac{\partial f}{\partial \varphi} \mathbf{i}_\varphi

  • 水平散度算子

∇⋅F=1acos⁡φ(∂Fλ∂λ+∂Fφcos⁡φ∂φ) \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{a \cos{\varphi}} \left( \frac{\partial F_\lambda}{\partial \lambda} + \frac{\partial F_\varphi \cos{\varphi}}{\partial \varphi} \right)

  • 水平旋度算子

∇×F=1acos⁡φ(∂Fφ∂λ−∂Fλcos⁡φ∂φ) \nabla \times \mathbf{F} = \frac{1}{a \cos{\varphi}} \left( \frac{\partial F_\varphi}{\partial \lambda} - \frac{\partial F_{\lambda} \cos{\varphi}}{\partial \varphi} \right)

  • 水平通量算子

∇⋅(vf)=1acos⁡φ(∂fu∂λ+∂fvcos⁡φ∂φ) \nabla \cdot \left(\mathbf{v} f\right) = \frac{1}{a \cos{\varphi}} \left( \frac{\partial f u}{\partial \lambda} + \frac{\partial f v \cos{\varphi}}{\partial \varphi} \right)

  • 水平平流算子

v⋅∇f=uacos⁡φ∂f∂λ+va∂f∂φ \mathbf{v} \cdot \nabla f = \frac{u}{a \cos{\varphi}} \frac{\partial f}{\partial \lambda} + \frac{v}{a} \frac{\partial f}{\partial \varphi}

积分形式更容易操作

  • 水平旋度算子

[∇×v]A:=lim⁡∣A∣→01∣A∣∫∂Av⋅dl \left[\nabla \times \mathbf{v} \right]_A := \lim_{|A| \to 0} \frac{1}{|A|} \int_{\partial A} \mathbf{v} \cdot d\mathbf{l}

  • 水平通量算子

[∇⋅(vf)]A:=lim⁡∣A∣→01∣A∣∫∂Afu⋅nds \left[\nabla \cdot \left(\mathbf{v} f\right)\right]_A := \lim_{|A| \to 0} \frac{1}{|A|} \int_{\partial A} f \mathbf{u} \cdot \mathbf{n} ds

其中dld\mathbf{l}是沿着二维区域AA边界的线段矢量，dsds是沿区域AA边界的面元，n\mathbf{n}是dsds的法向量，指向区域AA外侧，∣A∣|A|是区域面积或体积。

离散方法

经纬网格

质量散度 [∇⋅(vf)]i,j=1Aj[(leuf^e)i+12,j−(leuf^e)i−12,j+(levf^e)i,j+12−(levf^e)i,j−12] \left[\nabla \cdot \left( \mathbf{v} f \right)\right]_{i,j} = \frac{1}{A_j} \left[ \left(l_e u \hat{f}_e \right)_{i+\frac{1}{2},j} - \left( l_e u \hat{f}_e \right)_{i-\frac{1}{2},j} + \left( l_e v \hat{f}_e \right)_{i,j+\frac{1}{2}} - \left( l_e v \hat{f}_e \right)_{i,j-\frac{1}{2}} \right]