基础参数

摩擦速度

u∗=τρ u_* = \sqrt{\frac{\tau}{\rho}}

其中τ\tau为动量的雷诺应力（Reynolds stress），在水平两个方向上为w′u′‾\overline{w^\prime u^\prime}和w′v′‾\overline{w^\prime v^\prime}。τ\tau的量级是0.1m2s−20.1 m^2 s^{-2}，u∗u_*的典型值量级是0.3ms−10.3 m s^{-1}。对于湍流，在贴近地面的区域（数米），u∗u_*近似常数。边界层中的速度常表达为u∗u_*和高度zz的函数

u=u∗κln⁡zz0 u = \frac{u_*}{\kappa} \ln{\frac{z}{z_0}}

其中z0z_0为摩擦长度，κ\kappa为卡曼常数，是一个经验数，一般取0.35～0.4左右。

基础假设

混合长假设

该假设空气微团在移动某一距离LmL_m前仍保持原位置的平均性质，之后便与周围空气混合。考虑垂直运动尺度与水平运动尺度相当的情况，则垂直湍流速度约为

w′≈Lm∣∂v‾∂z∣ w^\prime \approx L_m \left|\frac{\partial \overline{\mathbf{v}}}{\partial z}\right|

其中v‾\overline{\mathbf{v}}是平均水平风场。

−w′u′‾=w′Lm‾∂u‾∂z=Lm2‾∣∂v‾∂z∣∂u‾∂z=Km∂u‾∂z -\overline{w^\prime u^\prime} = \overline{w^\prime L_m} \frac{\partial \overline{u}}{\partial z} = \overline{L_m^2} \left|\frac{\partial \overline{\mathbf{v}}}{\partial z}\right| \frac{\partial \overline{u}}{\partial z} = K_m \frac{\partial \overline{u}}{\partial z}

上式将湍流动量通量−w′u′‾-\overline{w^\prime u^\prime}进行参数化，表达为动量涡旋粘性系数KmK_m（eddy viscosity coefficient）和平均风垂直梯度。在近地层假设Lm=κzL_m = \kappa z，带入上式

τ=(κz)2∣∂v‾∂z∣2 \tau = \left(\kappa z\right)^2 \left|\frac{\partial \overline{\mathbf{v}}}{\partial z}\right|^2

再带入摩擦速度

u∗2=(κz)2∣∂v‾∂z∣2 u_*^2 = \left(\kappa z\right)^2 \left|\frac{\partial \overline{\mathbf{v}}}{\partial z}\right|^2

∫0∣v‾∣1u∗ds=∫z0zκzdz \int_{0}^{\left|\overline{\mathbf{v}}\right|} \frac{1}{u_*} ds = \int_{z_0}^{z} \frac{\kappa z} dz

得到对数风廓线

∣v‾∣=u∗κln⁡zz0 \left|\overline{\mathbf{v}}\right| = \frac{u_*}{\kappa} \ln{\frac{z}{z_0}}